Problem 1.36.
問題文:
凸の五角形ABCDEは、四角形BCDEが正方形かつ中心がOの円に内接であり、∠BAE=90°である。
直線AOが∠BAEを二等分することを示せ。
解答:
点Oは正方形BCDEの中心より、∠BOE=90°
また∠EBO=∠BEO=45°
よって∠BAE+∠BOE=180°であり、これはA,B,O,Eが共円であることを示す
A,B,O,Eが共円より、∠BAO=∠BEOと∠OAE=∠OBEがいえる
以上より∠BAO=∠OAE=45°であり、これは直線AOが∠BAEを二等分することを示す
Problem 1.37. (BAMO 1999 2)
問題文:
実数a,bを0<a<bとなるように定め、O(0,0),A(0,a),B(0,b)を考える。
円TをABを直径とする円とし、点Pを円T上のA,B以外の点とする。
直線PAとx軸の交点をQとしたとき、∠BQP=∠BOPを示せ。
解答:
TはABを直径とする円より、点Pのx座標が0となることはなく、QはOと重なることがない
Bはy軸上の点、Qはx軸上の点なので∠BOQ=90°
円TはABを直径とするので∠BPA=90°
これより∠BPQ=∠BOQ(=90°)であり、B,P,O,Qは共円
よって∠BQP=∠BOP
Problem 1.38.
問題文:
円に内接する四角形ABCDについて、点Jを△ABCの内心、点Kを△DBCの内心とする。
B,C,K,Jは共円であることを示せ。
解答:
点Jは△ABCの内心より、∠ACJ=∠JCB=x
よって∠KCB=∠JCB+∠ACJ+∠KCA=2x+y
点Kは△DBCの内心より、∠DCK=∠KCB=2x+y
よって∠ACD=∠ACK+∠KCD=2x+2y
A,B,C,Dは共円より、∠ABD=∠ACD=2x+2y
また∠ABC=∠ABD+∠DBC=2x+2y+2z
点Jは△ABCの内心より、∠JBC=∠ABC/2=x+y+z
また∠JCK=∠JCA+∠ACK=x+y
よって∠JBK=∠JCK(=x+y)であり、B,C,K,Jは共円であることを示す
Problem 1.39. (CGMO 2012 5)
問題文:
△ABCの内心をIとし、△ABCの内接円が辺AB,辺ACと接する点をそれぞれD,Eとする。
また、点Oを△BCIの外心とする。
∠ODB=∠OECを示せ。
解答:
A,I,Oはこの順に一直線であることを示す。
直線AIと△ABCの外接円の交点で、Aでない方を点O'とする。
このとき、A,I,O'はこの順に一直線であり、A,B,O',Cは共円
△ABIについて考えて、∠O'IB=∠O'AB+∠ABI=(∠BAC+∠ABC)/2
またA,B,O',Cは共円より∠O'BC=∠O'AC
これより∠O'BI=∠O'BC+∠IBC=∠O'AC+∠IBC=(∠BAC+∠ABC)/2
よって∠O'IB=∠O'BIであり、これはO'B=O'Iを示す
同様にO'C=O'Iであることもいえ、これらよりO'B=O'I=O'Cであるので、O'は△BCIの外心
点Oは△BCIの外心であるので、点OとO'は一致
仮定よりA,I,O'はこの順に一直線であり、A,B,O',Cは共円なので、A,I,Oはこの順に一直線であり、A,B,O,Cは共円
点Iは△ABCの内心より、∠DAI=∠EAI
また、∠ADI=∠AEI(=90°)より、∠OID=∠IAD+∠IDA=∠IAE+∠IEA=∠OIE
よって、∠OID=∠OIE,ID=IE,IO=IOより△OIDと△OIEは二辺夾角相等で合同
これより∠ODI=∠OEI
また、∠ODB=∠BDI-∠ODI=90°-∠ODI,∠OEC=∠CEI-∠OEI=90°-∠OEIであり、これと∠ODI=∠OEIより∠ODB=∠OECがいえる
