Problem 2.16.
問題:
△ABCの内接円に対して辺BC,CA,ABのそれぞれ点D,E,Fが接している。
BC=a,CA=b,AB=c,s=(a+b+c)/2としたとき、AE=AF=s-a,BF=BD=s-b,CD=CE=s-cを示せ。
解答:
AF=x,BD=y,CE=zとしたときy+z=a,x+z=b,x+y=cが成立
これらを足し合わせてx+y+z=s
よってx=s-y-z=s-a
同様にy=s-b,z=s-cもいえるので題意は示された
Problem 2.18.
問題:
点I'を△ABCのBとCの外角二等分線の交点とする。
このとき、I'は辺BCと辺ABのBからの延長上と辺ACのCからの延長上の全てに接する円の中心であることを示せ。
また、A,I,I'は同一直線上にあることを示せ。(点Iは△ABCの内心とする)
解答:
I'からBCに下した垂線の足をXとする
BX=BB'となるような点B'を辺ABのBからの延長上に取り同様に点C'も取る
この時△B'BI'と△XBI'はBB'=BX,BI'=BI',∠B'BI'=∠XBI'より合同であるのでB'I'=XI'
同様にC'I'=XI'がいえるのでこれらより点I'を中心として半径がXI'であるような円は条件を満たす
この円をωとする
直線AB',AC'はωの接線であるので∠B'AI'=∠C'AI'
よってI'は∠BACの二等分線上
Iは△ABCの内心より∠BACの二等分線上であるので示された
Lemma 2.19. (Length of Exradius)
問題:
△ABCの内接円の半径をr,辺BCについてAと反対側にある△ABCの傍接円の半径をr'とする。
またBC=a,CA=b,AB=c,s=(a+b+c)/2とする。
r'=r*s/(s-a)を示せ。
解答:
Aと反対側にある△ABCの傍接円をωとする
ωの中心をI'とし、ωは直線ABにB'で接するとする
また△ABCの内心をIとし、△ABCの内接円は辺ABと点Fで接するとする
このとき△AFI,△AB'I'は∠AFI=∠AB'I'(=90°),∠FAI=∠B'AI'より相似
よってFI:B'I'=AF:AB'=(s-a):sであるのでB'I'=FI*s/(s-a)
B'I'=r',FI=rよりr'=r*s/(s-a)であるので示された
