Problem 1.40. (Canada 1991 3)
問題文:
点Pを円ωの内側の点とする。
点Pを含む円ωの弦を考えたとき、その弦の中点は必ず円Xの周上にあるような円Xが存在することを示せ。
解答:
円ωの中心をOとする。
点Oと点Pが一致する場合、弦の中点は常に点Oであり、円Xは点Oを通る任意の円が満たす。
一致しない場合、円XはOPを直径とする円であることを示す。
点Oと点Pを共に通るような弦は円ωの直径であることから、この弦の中点は点Oであり、円X上の点であるので条件を満たす。
また直線OPと垂直な点Pを通る円ωの弦については、中点が点Pであり、これも条件を満たす。
弦がこれらでない場合を考える。
弦の中点をQとする。
このとき、弦と直線OQは垂直であり、これより∠PQO=90°
これは点P,点Q,点OがPQを直径とする円上にあることを示し、この円は円Xである。
よって示された。
Problem 1.41. (Russian Olympiad 1996)
問題文:
凸な四角形ABCDの辺BC上に2点E,Fがある。(点Eの方が点Fよりも点Bに近い)
また、∠BAC=∠CDF,∠EAF=∠FDEが成り立っている。
∠FAC=∠EDBを示せ。
解答:
∠EAF=∠FDEよりA,E,F,Dは共円
よって∠ADE=∠AFEがいえる
ここで、∠ADE=x,∠EDF=y,∠BAE=zとする
このとき、∠ADC=∠ADE+∠EDF+∠FDC=∠ADE+∠EDF+∠BAE=x+y+z
また、∠AEB=∠ADF=∠ADE+∠EDF=x+y
よって∠ABC=∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=180°-x-y-z
よって∠ABC+∠ADC=180°であり、A,B,C,Dは共円
よって∠BAC=∠BDC
ここで、∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+∠EDF=y+z,∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠EDF+∠BAE=y+zより∠BAF=∠EDC
よって∠FAC=∠BAC-∠BAF=∠BDC-∠EDC=∠EDBが示される
Lemma 1.42.
問題文:
△ABCを円ωに内接する鋭角三角形とする。
点Xを点Aを含まない側の点B,Cを端点とする弧の中点とし、点Y,点Zも同様に定義する。
△ABCの内心を点Iとするとき、△XYZの垂心は点Iと一致することを示せ。
解答:
円ωの中心を点Oとする
はじめにA,I,Xは一直線であることを示す
点Xは弧BCの中心より、弧BXと弧XCの長さは等しい
よって∠BOX=∠XOC
円周角の定理より∠BOX=2∠BAX,∠XOC=2∠XACである
これらより∠BAX=∠XACがいえ、これは点Xが直線AI上にあることをあらわす
これよりA,I,Xは一直線であることがいえた
同様にB,I,Yが一直線であること、C,I,Zが一直線であることもいえる
直線XIと直線YZ,直線YIと直線XZの交点を点V,点Wとする
A,B,C,X,Y,Zは共円より、∠YWX=180°-∠WYX-∠WXY=180°-∠BYX-∠ZXA-∠YXA=180°-∠BAX-∠ZCA-∠YBA=180°-(∠BAC+∠ACB+∠CBA)/2=180°-180°/2=90°がいえる
これより直線YWと直線XZは垂直
同様に直線XVと直線YZは垂直であり、直線XVと直線YWの交点は△XYZの垂心
直線XVと直線YWの交点は点Iであるので、点Iは△XYZの垂心である
