EGMO(Evan Chen) メモ10

Problem 2.2.

問題:

AB:XY=BC:YZかつ∠BCA=∠YZXであるが相似でないような三角形の組△ABC,△XYZを一つ示せ。

解答:

△ABCが∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°であり△XYZが∠XYZ=60°,∠YXZ=90°,∠YZX=30°のとき条件を満たす

Problem 2.5.

問題:

点Oを中心とする半径rの円ωがある。

ここで点Pに対してf(P)=OP^2-r^2を定義する。

(i)f(P)の正/0/負は点Pと円ωの位置関係のみに依存することを示せ。

(ii)点Pを通る線がωと点X,Yで交わるとする。PX*PY=|f(P)|を示せ。

(iii)点Pを通る線がωと点Zで接するとする。PZ^2=f(P)を示せ。

解答:

(i) f(P)が正となるときはOP^2>r^2であり、OP,rは明らかに正なのでOP>r

ωは点Oから距離rにある点の集合なので、OP>rとなるような点Pはωの外側

同様に他も言える

(ii) 点Pと点Oが一致する場合、これは明らか

そうでない場合を考える

点Pと点Oを通る直線とωの交点をX',Y'とする

PX'とPY'のうち大きい方はr+OP,小さい方はr-OPなので

PX'*PY'=OP^2-r^2

方べきの定理よりPX*PY=PX'*PY'=OP^2-r^2となるので示された

(iii) OZ=r,∠OZP=90°よりPZ^2=OP^2-OZ^2=OP^2-r^2となるので示された

Problem 2.6.

問題:

点Bを中心とする円ωと円ω上の点Cと∠BCA=90°となる点Aを考える。

AB^2=AC^2+BC^2を示せ。

解答:

直線ABとωの交点でAに近い方をX,遠い方をYとする

またAX=dとする

方べきの定理よりAX*AY=AC^2

これよりd(d+2a)=b^2

(d+a)^2-a^2=b^2

d+a=√(a^2+b^2)

ここでAB=AX+XB=d+aなのでAB=√(a^2+b^2)

これよりAB^2=a^2+b^2=AC^2+BC^2であるので示された

Lemma 2.11.

問題:

△ABCの内部に点Pがある。

辺BCが△ABPの外接円と△ACPの外接円の両方に接しているとき、直線APが辺BCを二等分することを示せ。

解答:

APとBCの交点をXとする

方べきの定理よりXP*XA=XB^2,XP*XA=XC^2

よってXB^2=XC^2

XB,XCはあきらかに正なのでXB=XC

よって示された

 

Problem 2.12.

問題:

根軸を用いて△ABCに垂心が存在することを示せ。

解答:

Aを通りBCに平行であり、その長さがBCの2倍かつ中点がAに一致するような線分B'C'を考える

同様に線分A'B',C'A'も考える

A',B',C'を中心とした半径0の円をω,ω',ω''とする

これらは交わることがないので3つの円から2つを選んだ時の根軸はその中心同士を結んだ線分の垂直二等分線である

また3本の根軸は一本で交わることと、根軸は△ABCの一辺の垂直二等分線と一致することより△ABCに垂心は存在する

EGMO(Evan Chen) メモ9

Problem 1.49. (USAMO 2010 1)

問題:

五角形AXYZBを辺ABを直径とする円に内接する凸五角形とする。

点Yから辺AX,BX,AZ,BZに下した垂線の足をそれぞれ点P,Q,R,Sとする。

直線PQと直線RSの交点を点Tとし、辺ABの中点をOとするとき、2∠PTS=∠XOZを示せ。

解答:

AXYZBが内接している円をωとする。ABはωの直径より、その中点である点Oはωの中心である。

∠ZAB=a,∠XBA=b,∠YAZ=c,∠PAY=dとする

A,X,Y,Z,Bは共円より∠YBZ=∠YAZ=c,∠YBX=∠YAX=d

QはYからXBに下した垂線の足より∠YQB=90°

ABはωの直径より∠AXB=90°

よって∠PXB=180°-∠AXB=90°より∠YQB=∠PXB(=90°)であるので、PX//YQすなわちPA//YQ

これより∠AYQ=∠YAP=d

∠AXB=90°より、a+b+c+d=(a+c+d)+b=∠XAB+∠XBA=180°-∠AXB=90°

△AYRに着目すると∠AYR=180°-90°-∠YAR=90°-c

∠AYQ=dより∠QYR=∠AYR-∠AYQ=90°-c-d=a+b

X,Y,A,Bは共円より∠YXP=∠YBA=b+d

∠YPX=90°,∠YQX=90°より∠YPX+∠YQX=180°なのでP,Y,Q,Xは共円

よって円周角の定理より∠YQP=∠YXP=b+d

同様に∠YRS=a+cであり∠PTS=360°-∠QYR-∠YQT-∠YRT=360°-(a+b)-(180°-∠PQY)-(180°-∠SRY)=90°-a-b

Oはωの中心より∠ZOA=∠OAZ

よって∠ZOB=∠ZOA+∠OAZ=2a

同様に∠XOA=2bでありこれらより∠XOZ=180°-∠ZOB-∠XOA=180°-2a-2b

よって2∠PTS=2(90°-a-b)=180°-2a-2b=∠XOZ

より示された

Problem 1.50. (IMO 2013 4)

問題:

鋭角三角形ABCの垂心を点Hとし、点Wを辺BC上(点B,C以外)の点とする。

点B,Cから辺AC,ABへ下した垂線の足をそれぞれ点M,Nとする。

円ωを△BWNの外接円とし、ω上の点Xを辺WXがωの直径となるようにとる。

同様に円ω'を△CWMの外接円とし、ω'上の点Yを辺WYがω'の直径となるようにとる。

点X,Y,Hが同一直線上にあることを示せ。

解答:

ωとω'の交点で点Wでない方を点Tとし、AHとBCの交点を点Lとする

XWはωの直径より∠XBW=90°

よって∠XBW=∠ALW(=90°)であり、XB//AL

同様に∠YCW=90°とYC//ALがいえる

B,W,T,Nは共円より∠NTW=180°-∠NBW=180°-∠ABC

C,W,T,Mは共円より∠MTW=180°-∠MCW=180°-∠ACB

よって∠NTM=360°-∠NTW-∠MTW=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-∠NAM

これより∠NTM+∠NAM=180°であるのでA,N,T,Mは共円

点Hは△ABCの垂心より∠ANH=∠AMH=90°であるので∠ANH+∠AMH

よってA,N,H,Mは共円であるのでA,N,H,T,Mは共円

A,H,T,Mは共円より∠AMT=∠THL

A,N,T,Mは共円より∠BNT=∠AMT

B,X,N,Tは共円より∠BXT=∠BNT

XTとALの交点をH'とするとXB//ALより∠TH'L=∠TXB

これらより∠TH'L=∠THLであり、H,H'は共にAL上の点なのでHとH'は一致するのでX,H,Tは同一直線上

∠XBW=90°とX,B,W,Tは共円より∠XTW=180°-∠XBW=90°

同様に∠YTW=90°であり∠XTW+∠YTW=180°となるのでX,T,Yは同一直線上

よってX,H,T,Yは同一直線上であるのでX,H,Yは同一直線上

よって示された

Probleｍ 1.51. (IMO 1985 1)

問題:

円に内接する四角形ABCDと円ωがあり、ωの中心は辺AB上であり、他の四角形の3辺はωに接する。

この時AD+BC=ABとなることを示せ。

解答:

BC,CD,DAがωに接する点をそれぞれ点F,G,Eとし、ωの中心をOとする

AD=AD'となるように辺AB上に点をとる

∠DD'A=aとする

AD=AD'より∠D'DA=a,∠D'AD=180°-2a

四角形ABCDは円に内接するので∠BCD=180°-∠BAD=180°-∠D'AD=2a

CF,CGは共にωの接線より∠OCG=∠FCG/2=∠BCD/2=a

よって∠DD'A=∠OCD(=a)であるのでO,D',D,Cは共円

∠BD'C=bとする

O,D',D,Cは共円より∠ODC=∠OD'C=∠BD'C=b

DG,DEは共にωの接線より∠EDG=2∠ODC=2b

四角形ABCDは円に内接するので∠ABC=180°-∠ADC=180°-∠EDG=180°-2b

△BD'Cについて考えて∠BCD'=180°-∠D'BC-∠BD'C=180°-∠ABC-∠BD'C=b

よって∠BD'C=∠BCD'(=b)なのでBD'=BC

これよりAD+BC=AD'+BD'=AB

よって示された

EGMO(Evan Chen) メモ8

Problem 1.46. (Canada 1997 4)

問題:

平行四辺形ABCDの内側に点Oがある。

∠AOB+∠COD=180°のとき、∠OBC=∠ODCであることを示せ。

解答:

ABCDは平行四辺形なのでAB=DC

よって△AO'Bと△DOCが合同となるように点O'を取ることができる

∠AO'B=∠DOCであるので、∠AO'B+∠AOB=∠DOC+∠AOB=180°

よってO',A,O,Bは共円

△AO'Bと△DOCが合同より∠O'BA=∠OCD,O'B=OC

これとAB//CDよりO'B//OC

これとO'B=OCよりO'O//BC

よって∠O'OB=∠OBC

O',A,O,Bは共円より∠O'AB=∠O'OB

また△AO'Bと△DOCが合同より∠ODC=∠O'AB

以上より∠OBC=∠ODC

Problem 1.47. (IMO 2006 1)

問題:

△ABCの内心をIとする。点Pが△ABCの内部にあって、∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCBを満たす。
この時、AP≧AI を示せ。

また、この不等式において等号が成立するための必要十分条件はP=Iであることを示せ。

解答:

∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=(∠PBA+∠PBC)+(∠PCA+∠PCB)=∠ABC+∠ACBより、∠PBA+∠PCA=(∠ABC+∠ACB)/2=∠IBA+∠ICA

よって∠PBA-∠IBA=∠ICA-∠PCAであり、これより∠IBP=∠ICP

これと円周角の定理よりI,P,B,Cは共円

よって点Pは△BCIの外接円の円周上に位置する

直線AIと△ABCの外接円の交点で点Aでない方を点Oとする

この時、∠OBI=∠OBC+∠CBI

A,B,C,Oは共円より∠OAC=∠OBC

またIは△ABCの内心より∠BAI=∠IAC=∠OAC,∠ABI=∠CBI

これらより∠OBI=∠OBC+∠CBI=∠BAI+∠ABI=∠OIB

よってOB=OI,同様にOC=OIが示せる

よって点Oは△BCIの外心であり、これらより点A,I,Oが一直線であることがいえる

点Pは△BCIの外接円の円周上であるので、点Pが点Iと一致しない場合∠AIP>90°となりこれよりAP>AIがいえる

点Pが点Iと一致する場合、明らかにAP=AIがいえる

また、AP=AIとなるような点Pは点A,I,Oが一直線であることと点Pが△BCIの外接円の円周上であることより明らかに点Iと一致するときのみ

以上より題意は示された

Lemma 1.48. (Simson Line)

問題:

△ABCの外接円上の点Pから辺BC,CA,ABに下した垂線の足をそれぞれ点X,Y,Zとする。

点X,Y,Zが一直線上にあることを示せ。

解答:

∠PYC=∠PXC(=90°)よりP,Y,X,Cは共円

よって∠PCX=180°-∠PYX

A,B,C,Pは共円であるので、∠PAZ=∠PCB=∠PCX

∠PZA=∠PYA=90°より∠PYA+∠PZA=180°であり、Z,A,Y,Pは共円

よって∠PYZ=∠PAZ

よって∠PYX+∠PYZ=(180°-∠PCX)+∠PAZ=180°-∠PCX+∠PCX=180°

よってX,Y,Zは一直線上

EGMO(Evan Chen) メモ7

Problem 1.43. (JMO 2011 5)

問題文:

点A,B,C,D,Eは円ω上にあり、点Pは円ωの外側にある。

直線PB,直線PDはωに接しており、点P,A,Cは一直線であり、DE//ACが成り立っている。

直線BEは線分ACを二等分することを示せ。

解答:

直線BEと直線ACの交点を点Xとし、ωの中心を点Oとする。

直線PDは円ωの接線なので、∠BED=∠BDP

DE//ACより∠BXP=∠BED

よって∠BXP=∠BDPであり円周角の定理よりP,B,X,Dは共円

直線PB,直線PDは円ωの接線より∠OBP=90°,∠ODP=90°

これより∠OBP+∠ODP=180°であり、O,B,P,Dが共円であることを示す

以上よりX,O,D,Pは共円であり、∠OXP=180°-∠ODP=90°

よってOXとACは垂直であり、∠OXA=∠OXC(=90°)

これとOX=OX,OA=OC(共に円ωの半径より)から二辺夾角相等より△OXAと△OXCは合同

よってAX=CXであり、題意は示された

Lemma 1.44. (Three Tangents)

問題:

鋭角三角形ABCについて、B,CからAC,ABに下した垂線の足をそれぞれE,Fとする。

また、点Mを辺BCの中点とする。

ME,MF,Aを通りBCに平行な線は全て△AEFの外接円に接することを示せ。

解答:

CFとBEの交点を点Hとすると点Hは△ABCの垂心であるので、AHはBCと垂直

また、AHとBCの交点を点Dとし、Aを通りBCに平行な線とFMの交点を点Xとする。

∠BFC=90°,BM=MCよりMF=MCであり同様にME=MCもいえる

よって∠HFM=∠CFM=∠MCF=90°-∠FBC=90°-∠ABD=∠BAD=∠FAHであり、これよりMFは△AEFの外接円に接する

同様にMEも△AEFの外接円に接する

また、CFとABは垂直なので、∠AFC=90°

これより∠AHF=90°-∠FAH

また、XA//BCより∠XAB=∠ABC=90°-∠BAH=90°-∠FAH

よって∠XAB=∠AHFであり、これはAを通りBCに平行な線が△AEFの外接円に接することを意味する

以上より示された

Lemma 1.45. (Right Angles on Incircle Chord)

問題:

点Iを中心とする△ABCの内接円は辺BC,CA,ABにそれぞれ点D,E,Fで接している。

点Mと点Nをそれぞれ辺BC,ACの中点とする。

直線BIと直線EFの交点を点Kとしたとき、BKとCKが垂直であることと、M,N,Kは一直線であることを示せ。

解答:

∠BAC=2x,∠ABC=2y,∠ACB=2zとする。この時2x+2y+2z=180°である。

E,Fは△ABCの内接円に接するのでAF=AE,∠IEC=90°

これと∠FAE=∠BAC=2xより、∠AFE=(180°-2x)/2=y+z

Iは△ABCの内心なので、∠ABI=∠ABC/2=y,∠ACI=∠ACB/2=z

よって∠BKF=∠AFK-∠FBK=∠AFE-∠ABI=z

これより∠ACI=∠BKF

よって∠ECI=∠ACI=∠BKF=∠IKEなので、円周角の定理よりE,I,C,Kは共円

よって∠IKC=∠IEC=90°であるので∠BKC=∠IKC=90°

これよりBKとCKは垂直

BM=MC,∠BKC=90°よりBM=MK

よって∠MKB=∠MBK=yであり∠KMC=∠MKB+∠MBK=2y=∠ABC

これよりKM//AB

また、点M,Nはそれぞれ辺BC,ACの中点なので、中点連結定理よりMN//AB

よってKM//MNであり、これはM,N,Kが一直線上であることを示す。

EGMO(Evan Chen) メモ6

Problem 1.40. (Canada 1991 3)

問題文:

点Pを円ωの内側の点とする。

点Pを含む円ωの弦を考えたとき、その弦の中点は必ず円Xの周上にあるような円Xが存在することを示せ。

解答:

円ωの中心をOとする。

点Oと点Pが一致する場合、弦の中点は常に点Oであり、円Xは点Oを通る任意の円が満たす。

一致しない場合、円XはOPを直径とする円であることを示す。

点Oと点Pを共に通るような弦は円ωの直径であることから、この弦の中点は点Oであり、円X上の点であるので条件を満たす。

また直線OPと垂直な点Pを通る円ωの弦については、中点が点Pであり、これも条件を満たす。

弦がこれらでない場合を考える。

弦の中点をQとする。

このとき、弦と直線OQは垂直であり、これより∠PQO=90°

これは点P,点Q,点OがPQを直径とする円上にあることを示し、この円は円Xである。

よって示された。

Problem 1.41. (Russian Olympiad 1996)

問題文:

凸な四角形ABCDの辺BC上に2点E,Fがある。(点Eの方が点Fよりも点Bに近い)

また、∠BAC=∠CDF,∠EAF=∠FDEが成り立っている。

∠FAC=∠EDBを示せ。

解答:

∠EAF=∠FDEよりA,E,F,Dは共円

よって∠ADE=∠AFEがいえる

ここで、∠ADE=x,∠EDF=y,∠BAE=zとする

このとき、∠ADC=∠ADE+∠EDF+∠FDC=∠ADE+∠EDF+∠BAE=x+y+z

また、∠AEB=∠ADF=∠ADE+∠EDF=x+y

よって∠ABC=∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=180°-x-y-z

よって∠ABC+∠ADC=180°であり、A,B,C,Dは共円

よって∠BAC=∠BDC

ここで、∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+∠EDF=y+z,∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠EDF+∠BAE=y+zより∠BAF=∠EDC

よって∠FAC=∠BAC-∠BAF=∠BDC-∠EDC=∠EDBが示される

Lemma 1.42.

問題文:

△ABCを円ωに内接する鋭角三角形とする。

点Xを点Aを含まない側の点B,Cを端点とする弧の中点とし、点Y,点Zも同様に定義する。

△ABCの内心を点Iとするとき、△XYZの垂心は点Iと一致することを示せ。

解答:

円ωの中心を点Oとする

はじめにA,I,Xは一直線であることを示す

点Xは弧BCの中心より、弧BXと弧XCの長さは等しい

よって∠BOX=∠XOC

円周角の定理より∠BOX=2∠BAX,∠XOC=2∠XACである

これらより∠BAX=∠XACがいえ、これは点Xが直線AI上にあることをあらわす

これよりA,I,Xは一直線であることがいえた

同様にB,I,Yが一直線であること、C,I,Zが一直線であることもいえる

直線XIと直線YZ,直線YIと直線XZの交点を点V,点Wとする

A,B,C,X,Y,Zは共円より、∠YWX=180°-∠WYX-∠WXY=180°-∠BYX-∠ZXA-∠YXA=180°-∠BAX-∠ZCA-∠YBA=180°-(∠BAC+∠ACB+∠CBA)/2=180°-180°/2=90°がいえる

これより直線YWと直線XZは垂直

同様に直線XVと直線YZは垂直であり、直線XVと直線YWの交点は△XYZの垂心

直線XVと直線YWの交点は点Iであるので、点Iは△XYZの垂心である