JMO2022 敗退記 - Mitsubachiのメモ

試験前

中1,2はJJMO予選落ちで中3から毎年JMO本選に出たのでとうとう3年目。

名古屋会場は待遇がよくて飲み物とか置いてくれる。今年はペットボトル2本(麦茶と桃のサイダー)、去年はペットボトル3本とお菓子だった気がする。一昨年はエルおおさかで受けたので知らないけどhayarinaさん曰く同じ感じだったらしい。エルおおさかはアクセスも悪いし終わっている。

炭酸はいらないので前にいた人の麦茶と交換して(サイダーを押し付けて)試験を受ける。(前にいた人、ありがとう)

試験中

肝心の問題は1と2しか解けなかった。後ろのkkkaaaが4完+aを主張していた。怖すぎ。

1がどうみても $m=1011$ っぽいのだが全然うまく書けない。先に2を解くことに。

解の予想すらパッと立たない。頑張ると $f(x)=x+1$ っぽいのでとりあえず十分性を示しておく。

雑にやって $f(x) \geq x+1$ と $f^{f(n)}(m)=f^{f(m)}(n)$ が示せるので、これを使って何とかしたい。 $f(1)=1+x$ とすると $f^{f(1)}(x+1)=f^{f(x+1)}(1)=f^{f(x+1)-1}(x+1)$ より $f(x+1)=f(1)+1=(x+1)+1$ がいえる。で、 $f(i)=i+1$ となる $i$ があるとして $f^{f(i)}(i+1)=f^{f(i+1)}(i)=f^{f(i+1)-1}(i+1)$ より $f(i+1)=f(i)+1=(i+1)+1$ となるので帰納法的に考えて $n \geq x+1$ について $f(n)=n+1$ がいえる。後は $f^{f(1)}(1)+1=f(1)f(1)$ を考えて $2x+2=x^2+2x+1$ がいえるので $x=1$